亲爱的A股训练营小伙伴们。今日我们将继续共读《艾略特波浪理论：市场行为的关键》，作者是小罗伯特 R.普莱切特&阿尔弗雷德 J.弗罗斯特 。
第三章 波浪理论的历史和数学背景
斐波那契数列是由13世纪的意大利数学家莱昂纳多•斐波那契发现的（确切来说是重新发现的）。本文将概述这位奇才的历史背景，详细地讨论这个以他名字命名的数列（技术上，它是序列，而不是级数）。艾略特在自然法则中说道，斐波那契数列为波浪理论提供了数学基础。（对于波浪理论背后数学知识的进一步讨论，请见沃尔特.E.怀特撰写的“波浪理论的数学基础”，收录于新经典文库。）
来自比萨的莱昂纳多•斐波那契
黑暗时代是欧洲文化全面衰退的一段时期^从公元476年罗马帝国的衰亡开始，持续到大约公元1000年。这一时期，数学和哲学在欧洲日渐衰落，由于黑暗时代没有蔓延到东方，它们在印度和阿拉伯得到了充分的发展。随着欧洲的逐步复兴，地中海发展成了一条文明之河，引导着来自印度和阿拉伯的商业、数学以及其他新思想流人欧洲。
在中世纪，比萨是一座城墙坚固的城邦,也是繁荣的商业中心，它的滨水区反映了当时的商业革命。皮革、毛皮、棉花、羊毛、铁、铜、锡和香料
都在比萨城内交易，黄金是重要的货币。港口挤满了重达400吨、长至80英尺的船只。比萨城的经济支撑了皮革业、造船业和炼铁厂。即使用今天的标准去衡量，比萨的政治体制也相当完善。例如，首席治安官任期到满后才能获得报酬，而且这段任期还要接受检查,看是否能胜任工资。事实上，我们的主人公斐波那契就是检查员之一。
斐波那契，出生于1170~1180年，是一位杰出的商人、市政官的儿子，很可能生活在比萨的一座塔楼中。当时，塔楼可用作工厂、碉堡和家庭住宅，它的建筑结构可以使箭从狭窄的窗户里射出，或将烧开的柏油倒向接近塔楼图谋不轨的陌生人。斐波那契活着的时候，著名的比萨斜塔还在建造中。它是当时比萨在建的三座宏伟建筑中的最后一座，比萨大教堂和比萨洗礼堂早已在几年前完工。
还是学生时，斐波那契就开始熟悉当时的海关和商业活动，包括使用算盘。算盘是当时欧洲广泛使用的一种商用计算器。尽管斐波那契的母语是意大利语，他还学会了其他几种语言，包括法语、希腊语，甚至还有拉丁语，而且说得很流利。
莱昂纳多的父亲被任命为北非贝贾亚的海关官员不久，就要求莱昂纳多一同前往完成学业。莱昂纳多开始围绕地中海多次进行商业旅行。一次埃及旅行之后，他出版了名著的《算学》，这本书把有史以来最伟大的数学发现:十进制引人了欧洲，其中包括零是十进制的首位。这个理论，包括了常见的符号即〇,1,2,3,4,5,6,7,8和9,也就是现在都广泛使用的印度一阿拉伯进制。
在真正的数位制或位值制中，一列中与其他符号排列在一起的符号的实际值,不仅取决于组成它的基本数字的值，还取决于排列中的位置,例如，58与85的实际值同。尽管早在几千年前，巴比伦人和中美洲的玛雅人就已经分别建立了数位或位值的命数法，但这些方法在其他方面有缺陷。因此，第一个使用数字零和位值的巴比伦进制，并未被引人希腊数学中，甚至没有引入罗马进制中。罗马命数法中有七个符号:I,V，X，L,C,D和M,这些符号没有数字值。用这些非数字符号进行加、减、乘、除并不容易，尤其当数字比较大时。自相矛盾的是，罗马人使用算盘——这种非常古老的数字工具来解决这个问题。而算盘是基于数字的，而且含有数字零，它对罗马人的计算体系起到了必要的补充作用。在当时，书记员和商人都要依靠算盘来解决问题。斐波那契在巨著《算学》中解释了算盘的基本原理后，开始在旅行中使用这种新进制。通过他的努力，这种简单的新进制终于传人了欧洲。渐渐地，罗马数字被阿拉伯数字代替。将这种新进制引入欧洲，是自罗马帝国衰亡后700年来数学领域里的最重要成就。斐波那契不仅使中世纪的数学保持了活力，还为高等数学、物理学、天文学和工程学的相关领域的巨大发展奠定了基础。
尽管后来世界几乎忘记了斐波那契，但他无疑是那个时代的巨人。他非常的著名，科学家、学者弗里德里克二世都特别前去比萨访问他。弗里德里克二世是圣罗马帝国的皇帝，西西里王国、耶路撒冷王国的国王同时也是欧洲和西西里王国两个贵族家庭的后裔，在那个时期，他是最有威望的王子。他信仰君主专政制,一直生活在一个罗马皇帝应有的奢华中。
斐波那契与弗里德里克二世的会晤发生在公元1225年，是当时比萨城的一件盛事。皇帝骑着马走在队伍的前面，队伍里有号兵、侍臣、骑士、官员和威风的随从。皇帝对这位著名数学家提出的一些问题在《算学》中都有详尽的记载。显然，斐波那契解决了皇帝提出的这些问题,因为他被允许可随时进人皇宫。斐波那契在公元1228年再版《算学》这本书，并把修订版献给了弗里德里克二世。
毫不夸张地说，莱昂纳多•斐波那契是中世纪最伟大的数学家。斐波那契总共写了三本数学著作:1202年出版、1228年修订的《算学》，1220年出版的《实用几何学》，以及《平方数书》。公元1240年，比萨公民尊称他为“言行谨慎且学识渊博的人”，而且最近《大英百科全书》的资深编辑约瑟夫•基斯说道，未来的学者迟早会“给比萨的莱昂纳多4世界上伟大的学术先驱之一’的称号”。多年以后，斐波那契的著作终于从拉丁文译成英文。对于那些感兴趣的读者,约瑟夫•基斯与弗朗西斯•基斯合著的《比萨的莱昂纳多和中世纪的新数学》是一本关于斐波那契时代及其著作的优秀专著。
尽管斐波那契是中世纪最伟大的数学家，但人们对他的纪念只是与比萨斜塔隔着阿诺河的一座雕像，以及两条以他的名字命名的街道——一条在比萨，另一条在佛罗伦萨。很奇怪的是，参观著名的高达179英尺的比萨斜塔的游客中，很少有人听说过斐波那契，或瞻仰过他的雕像。斐波那契与公元1174年开始建造的比萨斜塔的设计师波纳纳是同时代的人，两者都对世界做出了贡献，而对世界影响颇深的一个人却几乎不为人知。斐波那契数列
在《算学》中，由一个问题产生了数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,到无穷，这就是斐波那契数列。这个问题是：
在一个封闭区域中，如果一对兔子从第二个月开始，每个月生一对新兔子，那么，在一年内会有多少对兔子？
我们发现每对兔子，包括第一对，需要一个月的时间长大，一旦可以生育,每个月都会生出一对新兔子。前两个月兔子的对数是相同的，所以数列是1,1。第一对兔子最终在第二个月生下一对新兔子，所以从第三个月开始时，就有了两对兔子。在这两对兔子中，老兔子又生了第三对兔子，所以在第四个月的开始，数列扩大为1,1,2,3。在这三对兔子中，两对较老的兔子，再次生育，这样兔子就有五对。下一个月，有三对兔子可以生育，因此数列扩大到了1,1,2,3，5,8,并依此类推。图3-1就是以指数形式加速膨胀的兔子家族树。按这个数列发展几年，就会产生天文数字。例如，100个月后，我们会得到354,224,848，179,261，915,075对兔子。由兔子问题引出的斐波那契数列有许多有趣的特性，序列中的各项几乎有着恒定的关系。
兔子家族树
图3-1
黄金比率
除数列中的头几个数字，任何一个数字与下一个数字的比大约是0.618比1,而与前一个数字的比值大约是1.618比1。随着数列的推移，比值就越接近于一个无理数即Phi.618034……数列中，两个间隔数字之间的比率是0.382,倒数是2.618。
Phi是唯一一个与1相加，可以得到其倒数的数字••〇.618+1=1-0.618。这种相加和相乘的结合，产生了以下等式序列：
0.6182=1-0.618,
0.6183=0.618-0.6182,
0.6184=0.6182-0.6183,
0.6185=0.6183-0.6184,等等或
=1+1.618,
=1.618+1.6182,
=1.6182+1.6183，
=1.6183+1.6184,
等等这四种比率的相关性质还可如下表示:1.618-0.618=1，
1.618x0.618=1,
1-0.618=0.382,
0.618xO.618=0.382,
2.618-1.618=1,
x0_382=1，
xO.618=1.618,
1.618xl.618=2.618
除了1和2,任何斐波那契数字乘以4,再有选择地加上一个斐波那契数字，就可以得到另一个斐波那契数字，如下：
3x4=12；+1=13,
5x4=20;+1=21，
8x4=32;+2=34,
13x4=52；+3=55,
21x4=84;+5=89,
新数列展开过程中，第三个数列从它与4倍的乘积相加的数字开始。这种关系是存在的，因为隔两个数字的斐波那契数字间的比率是4.236,而0.236不仅是4.236的倒数，也是4.236与4的差。其他乘积产生了不同的数列，它们都基于斐波那契乘积。
黄金分割
任何长度都可以这样分割，即使较短部分与较长部分之间的比率，等于较长部分与整个长度之间的比率。这个比率永远是0.618。
黄金分割在自然界到处都是。事实上，从外形尺寸到面部排列，整个人体有着黄金分割。“在蒂迈欧篇中”，彼得•汤普金斯说,“柏拉图曾深人考虑过0>及其产生的所有数学关系中最紧密的黄金分割比例关系，并认为它是宇宙物理学的关键。”16世纪，约翰尼斯•开普勒在谈到黄金分割或称“神赐分割”时，说它实质上描绘了万物，尤其象征着“特征传递”的上帝造化。人体可以在肚脐处形成黄金分割。统计上的平均值大约是0.618。这个比率对男女都一样，是一种“特征传递”的完美标志。人类的进步是不是也是一种“特征传递”的创造呢？
黄金矩形
黄金矩形相邻两边之比是1.618:1。要构建一个黄金矩形，首先得画一个两个单位长度乘两个单位长度的正方形，然后从正方形一边的中点至对边直角的顶点作一条连线。
三角形EDB是一个直角三角形。大约在公元前550年，毕达哥拉斯曾证明，直角三角形的斜边（X)的平方等于另外两边的平方和。因此，在本例中,X2二22+I2,或X2二5。所以，线段EB的长度一定是5的平方根。构建黄金矩形的下一步是延长线段CD，使EG的长度等于5的平方根或2.236个单位长度，如图3-5所示。此时，矩形的边呈黄金比率，矩形AFGC和矩形BFGD也都是黄金矩形。
矩形的边呈黄金比率，所以这个矩形被定义为黄金矩形。
黄金矩形大大丰富了艺术领域。在古埃及、古希腊和文艺复兴这些文化顶峰时期，黄金比的价值与应用非常广泛。莱昂纳多•达•芬奇对黄金比率做出了重要贡献。他也发现这种比率会令人愉快,并说道，“如果一件东西外形不协调，它就不可能完美”。达•芬奇的许多绘画作品外形协调，因为他有意识地用黄金比例来增强作品的表现力。古代和现代的建筑师，尤其是那些设计雅典巴台农神庙的著名建筑师，都成功地把黄金矩形运用到他们的设计之中。
显然，比率确实对形态的观察者产生影响。试验已证实，这个比例在美学上有舒适感。例如，让实验人员从一组不同类型的矩形中挑选出一个，平均来说，都会选择接近黄金矩形的形状。如果要求实验人员用他们最喜欢的方式，将一根杆子与另一根杆子交叉，通常划分比例为。窗户、画框、建筑、书籍以及墓地的十字架的比例都近似于黄金矩形。
如同黄金分割一样，黄金矩形的价值不仅仅只限于美学，显然还有其他作用。所有的例子中最有说服力的就是，DNA的双螺旋结构在旋转的间隔处呈精确的黄金矩形状。
黄金分割与黄金矩形代表了自然界和人造的美学及工用的静态形态，而要体现舒适的美学活力，一种生长或发展的有序过程，则莫属黄金螺线一一宇宙中最独特的形态之一,最为合适了。
黄金螺线
黄金矩形可以用来构造黄金螺线。任何一个黄金矩形，如图3-5中所示,都可被划分成一个正方形和一个较小的黄金矩形，如图3-6所示。理论上这个细分过程可以无限延伸。
图3-6
本身互为黄金比例的两条虚线，对角平分了矩形，它们的交点正是正方形旋转的理论中心。在靠近中心点处，可以绘制一条如图3-7所示的螺线，即按正方形增大的方向，连接每个旋转正方形的交叉点形成一条曲线。当正方形向内或向外旋转时，它们的连接点就描绘出了一条黄金螺线。在黄金螺线形成中的每一点,弧长与直径的比都是1.618。
共读作者：陆海，是我们A股训练营2营的群友。在国内一家上市金融公司从事经营分析工作。入市20余年，力求尽可能接近缠论，无欲无求、心如明镜，完美折射市场行为的境地。
他的学习建议：“志不强者智不达，学习讲究“穷源”，探索其根源，找到该理论有效性的保证。前言一开始引用圣经中的话，就是该理论的“源”。艾略特波浪属形态学，其预测准确性由永恒的人性，导致事物发展的重复，所保证。所有章节均同等重要。如果，初学者可以先把握第１、２章，然后花上半年左右的光阴，手工绘制几百张，不同指数与商品的60分钟波浪图，经过深度思考后，再接着学习后续章节，效果更佳。”